cálculo integral

La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.

Estamos de acuerdo con la siguiente notación:

\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm dx

Es la integral definida de la función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pret

ende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.

El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función

f(x)

de una variable real

x

y un intervalo

[a,b]

de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano

xy

limitada entre la gráfica de

f

, el eje

x

, y las líneas verticales

x =a

x =b

, donde son negativas las áreas por debajo del eje

x

\int_a^b f(x)\,dx

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada

f

. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se esta integrando, la cual,conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

Propiedades de la integración

Linealidad

El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

f \mapsto \int_a^b f \; dx

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

\int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

f\mapsto \int_E f d\mu

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

\int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu.

De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

f\mapsto\int_E f d\mu, \,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)¹¹ para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ Mpara todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquí resulta que

m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a).

Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

\int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx.

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

(fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx.

Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f ², g ², y fg son también Riemann integrables, y

\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right).

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo [a, b].

Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |f|^p y |g|^qtambién son integrables y se cumple la desigualdad de Hölder:

\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq \left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|^p, |g|^p y |f + g|^p son también Riemann integrables y se cumple ladesigualdad de Minkowski:

\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq \left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} + \left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.

Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los espacios L^p.

Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

\int_a^b f(x) \, dx

sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x₀ ≤ x₁ ≤ . . . ≤ x_n = bcuyos valores x_i son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x_i , x_i +1] donde el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integraciónde f. Las integrales también se pueden definir si a > b:

Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx.

Ello, con a = b, implica:

Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

\int_a^a f(x) \, dx = 0.

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que:

Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.

Con la primera convención la relación resultante

\begin{align} \int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\ &{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \end{align}

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración se hace sólo sobre variedades orientadas. Si M es una tal formam-dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientación opuesta y ω es una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de formas diferenciales):

\int_M \omega = - \int_{M'} \omega \,.

Teorema fundamental del cálculo

Artículo principal: Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a,b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

F(x) = \int_a^b f(x) \, dx

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

\int_a^b f(x) \, dt = F(b) - F(a).

Integrales impropias

La integral impropia

\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi

tiene intervalos no acotados tanto en el dominio como en el recorrido.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende a infinito.

\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)dx

Si el integrando sólo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el límite puede suministrar un resultado finito.

\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx

Esto es, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integración se aproxima, ya sea a un número real especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen falta límites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

Integración múltiple

Integral doble como el volumen limitado por una superficie.

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

\int_E f(x) \, dx.

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, unvector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple— la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

Con la integral doble

\iint_D 5 \ dx\, dy

de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

Con la integral triple

\iiint_\mathrm{paralelepipedo} 1 \, dx\, dy\, dz

de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

Integrales de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

W=\vec F\cdot\vec d

que tiene su paralelismo en la integral de línea

W=\int_C \vec F\cdot d\vec s

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

Integrales de superficie

La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

Como ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, se puede considerar un campo vectorial v sobre una superficie S; es decir, para cada punto x de S, v(x) es un vector. Imagínese que se tiene un fluido fluyendo a través de S, de forma que v(x) determina la velocidad del fluido en el punto x. El caudal se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para hallar el caudal, hay que calcular el producto escalar de v por el vector unitario normal a la superficie S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}}

El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica del electromagnetismo.

Integrales de formas diferenciales

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rⁿ. Una 0-forma se define como una función infinitamente derivable f. Cuando se integra una función f sobre un subespacio dem-dimensional S de Rⁿ, se escribe como

\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx¹ hasta dxⁿ son objetos formales ellos mismos, más que etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de Riemann. De forma alternativa se pueden ver como covectores, y por lo tanto como una medida de la "densidad" (integrable en un sentido general). A dx¹, …,dxⁿ se las denomina 1-formas básicas.

Se define el conjunto de todos estos productos como las 2-formas básicas, y de forma similar se define el conjunto de los productos de la forma dx^a∧dx^b∧dx^c como las 3-formasbásicas. Una k-forma general es por lo tanto una suma ponderada de k-formas básicas, donde los pesos son las funciones infinitamente derivables f. Todas juntas forman unespacio vectorial, siendo las k-formas básicas los vectores base, y las 0-formas (funciones infinitamente derivables) el campo de escalares. El producto exterior se extiende a lask-formas de la forma natural. Sobre Rⁿ como máximo n covectores pueden ser linealmente independientes, y así una k-forma con k > n será siempre cero por la propiedad alternante.

Además del producto exterior, también existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a las k-formas (k+1)-formas. Para una k-forma ω = f dx^a sobreRⁿ, se define la acción de d por:

{\bold d}{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.

con extensión a las k-formas generales que se dan linealmente.

Este planteamiento más general permite un enfoque de la integración sobre variedades libre de coordenadas. También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, denominada teorema de Stokes, que se puede establecer como

\int_{\Omega} {\bold d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!

donde ω es una k-forma general, y ∂Ω indica la frontera de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del cálculo. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema de Green. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema de Stokes y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.

CALCULO INTEGRAL

lunes, 28 de abril de 2014

Aplicación de calculo integral